Radi espectral

Si ${\displaystyle A}$ és un endomorfisme sobre un espai de Banach complex ${\displaystyle E}$, hom anomena radi espectral de ${\displaystyle A}$, denotat ${\displaystyle \rho (A)}$, el radi de la bola tancada més petita de centre 0 que conté tots els valors espectrals de ${\displaystyle A}$. Sempre té un valor inferior o igual a la norma operacional de ${\displaystyle A}$.

En dimensió finita, per un endomorfisme amb valors propis complexes ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{n}}$, el radi espectral és igual a ${\displaystyle \max _{i}{\left|\lambda _{i}\right|}}$.

En conseqüència, per a tota norma matricial N, és a dir, per a tota àlgebra normada sobre ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ (respectivament ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$) i per a tota matriu A de ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {R} )}$ (respectivament ${\displaystyle M_{n}(\mathbb {C} )}$), es té que ${\displaystyle \rho (A)\leq N(A)}$.

Demostració

Sigui ${\displaystyle \lambda }$ un valor propi de ${\displaystyle A}$, i sigui ${\displaystyle x}$ un valor propi associat a ${\displaystyle \lambda }$. Denotem per ${\displaystyle B}$ la matriu quadrada on la primera columna és ${\displaystyle x}$ i les altres columnes són nul·les. Tenim que ${\displaystyle AB=\lambda B}$; per tant, ${\displaystyle |\lambda |N(B)=N(AB)\leq N(A)N(B)}$. Aquesta expressió la podem simplificar per ${\displaystyle N(B)}$, ja que el vector ${\displaystyle x}$ és no nul.

A més, hem demostrat que ${\displaystyle \rho (A)=\inf N(A)}$, la fita inferior presa sobre el conjunt de les normes subordinades, i d'aquí també sobre les àlgebres normades.

El teorema de Gelfand ens diu que el radi espectral ${\displaystyle \rho (A)}$ d'un endomorfisme ${\displaystyle A}$ ve donat per la fórmula

${\displaystyle \rho (A)=\lim _{+\infty }\|A^{n}\|^{1/n}}$.

Per un operador normal (en particular per un operador autoadjunt) sobre un espai de Hilbert H, el radi espectral és igual a la norma operacional. D'aquí, hom dedueix que per tot operador A sobre H, ${\displaystyle \|A\|^{2}=\rho (A^{*}A)}$.

El radi espectral pot ser estrictament inferior a la norma operacional. Per exemple, la matriu ${\displaystyle M={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}}$ té un radi espectral 0, però ${\displaystyle M\neq 0}$, d'on ${\displaystyle \|M\|>0=\rho (M)}$ (més precisament, ${\displaystyle \|M\|=1}$ perquè es té ${\displaystyle \|M\|^{2}=\|^{\operatorname {t} }M\ M\|=\rho (^{\operatorname {t} }M\ M)=1}$).

Bibliografia

• Lax, Peter D. Functional Analysis. Wiley-Interscience, 2002. ISBN 0-471-55604-1.  (anglès)

Vegeu també

• Espectre (anàlisi funcional)