Unió llarga de Josephson

En superconductivitat, una unió llarga de Josephson (amb acrònim anglès LJJ) és una unió de Josephson que té una o més dimensions més llargues que la profunditat de penetració de Josephson ${\displaystyle \lambda _{J}}$. Aquesta definició no és estricta.^[1]

Pel que fa al model subjacent, una breu cruïlla de Josephson es caracteritza per la fase Josephson ${\displaystyle \phi (t)}$, que només és una funció del temps, però no de les coordenades, és a dir, se suposa que la unió de Josephson és puntual a l'espai. En canvi, en una unió llarga de Josephson la fase de Josephson pot ser una funció d'una o dues coordenades espacials, és a dir, ${\displaystyle \phi (x,t)}$ o ${\displaystyle \phi (x,y,t)}$.

El model més senzill i el més utilitzat que descriu la dinàmica de la fase Josephson ${\displaystyle \phi }$ a LJJ és l'anomenada equació sinusoïdal pertorbada de Gordon. Per al cas de 1D LJJ queda:

${\displaystyle \lambda _{J}^{2}\phi _{xx}-\omega _{p}^{-2}\phi _{tt}-\sin(\phi )=\omega _{c}^{-1}\phi _{t}-j/j_{c},}$

on els subíndexs ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle t}$ denoten derivades parcials respecte a ${\displaystyle x}$ i ${\displaystyle t}$, ${\displaystyle \lambda _{J}}$ és la profunditat de penetració de Josephson, ${\displaystyle \omega _{p}}$ és la freqüència del plasma de Josephson, ${\displaystyle \omega _{c}}$ és l'anomenada freqüència característica i ${\displaystyle j/j_{c}}$ és la densitat de corrent de polarització ${\displaystyle j}$ normalitzat a la densitat de corrent crítica ${\displaystyle {j}_{c}}$.

Normalment, per als estudis teòrics s'utilitza l'equació sinusoïdal normalitzada de Gordon:

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9910c4367fcd74d3d2ea55dbae8f0d9a7ae224d3

on la coordenada espacial es normalitza a la profunditat de penetració de Josephson ${\displaystyle \lambda _{J}}$ i el temps es normalitza a la freqüència inversa del plasma ${\displaystyle \omega _{p}^{-1}}$. El paràmetre ${\displaystyle \alpha =1/{\sqrt {\beta _{c}}}}$ és el paràmetre d'amortiment adimensional (${\displaystyle \beta _{c}}$ és el paràmetre McCumber-Stewart), i, finalment, ${\displaystyle \gamma =j/{j}_{c}}$ és un corrent de polarització normalitzat.

Solució particular per:

• Ones de plasma de petita amplitud. ${\displaystyle \phi (x,t)=A\exp[i(kx-\omega t)]}$
• Soliton (també conegut com fluxon, Josephson vortex): ^[2]

${\displaystyle \phi (x,t)=4\arctan \exp \left(\pm {\frac {x-ut}{\sqrt {1-u^{2}}}}\right)}$

Aquí ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle t}$ i ${\displaystyle u=v/c_{0}}$ són la coordenada normalitzada, el temps normalitzat i la velocitat normalitzada. La velocitat física ${\displaystyle v}$ es normalitza a l'anomenada velocitat de Swihart ${\displaystyle c_{0}=\lambda _{J}\omega _{p}}$, que representen una unitat típica de velocitat i igual a la unitat d'espai ${\displaystyle \lambda _{J}}$ dividit per unitat de temps ${\displaystyle \omega _{p}^{-1}}$^[3]

Referències