Polinomio mínimo

En matemáticas, el polinomio mínimo de un elemento α es el polinomio mónico p de menor grado tal que p(α)=0. Las propiedades del polinomio no dependen de la estructura algebraica a la cual pertenece α.

Teoría de cuerpos

Artículo principal: Polinomio mínimo (teoría de cuerpos)

En teoría de cuerpos, dada una extensión de cuerpo E/F y un elemento α de E que sea algebraico sobre F, el polinomio mínimo de α es el polinomio mónico p, con coeficientes en F, de menor grado tal que p(α) = 0. El polinomio mínimo es irreducible, y cualquier otro polinomio no nulo f que cumpla f(α) = 0 es un múltiplo de p.

Álgebra lineal

Artículo principal: Polinomio mínimo de un endomorfismo

En álgebra lineal, el polinomio mínimo de un endomorfismo $f$ de un espacio vectorial $E$ de dimensión finita sobre un cuerpo $\mathbb {K}$ es el único polinomio mónico $\mu _{f}(t)\in \mathbb {K} [t]$ de grado mínimo que anula a $f$ , es decir, tal que $\mu _{f}(f)=0$ . Por extensión, dada una matriz $A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )$ , definimos el polinomio mínimo de $A$ como el polinomio mínimo del endomorfismo que define la matriz $A$ en un espacio vectorial $E$ de dimensión $n$ (en cualquier base, pues el polinomio mínimo no depende de la elección de esta).

Cualquier otro polinomio $p\in \mathbb {K} [t]$ con $p(f)=0$ es un múltiplo de $\mu _{f}$ . Veamos la demostración de esto último, juntamente con que el polinomio mínimo es único:

{\text{Todos los polinomios anuladores de }}f{\text{ son múltiplos de un único polinomio mónico anulador de }}f,

${\text{ al que llamaremos polinomio mínimo de }}f.$

Observamos en primer lugar que seguro que existen polinomios anuladores. Como

f

es un endomorfismo de un espacio vectorial

E

de dimensión finita

n

, podemos considerar una base

{\mathcal {B}}

del espacio y la matriz

A\in {\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} )

, la matriz de

f

en base

{\mathcal {B}}

Como ${\text{dim}}({\mathcal {M}}_{n}(\mathbb {K} ))=n^{2}$ , el conjunto de matrices $\{A^{i}\}_{i=0}^{n^{2}}$ , de cardinal $n^{2}+1$ , es necesariamente linealmente dependiente, es decir,

$\exists \{a_{i}\}_{i=0}^{n^{2}}\subseteq \mathbb {K}$ tales que $a_{0}I+a_{1}A+...+a_{n^{2}}A^{n^{2}}=0\Rightarrow \exists p(t)=a_{0}+a_{1}t+...+a_{n^{2}}t^{n^{2}}\in \mathbb {K} [t]$ anulador de $A\Rightarrow$

$\Rightarrow \exists p(t)=a_{0}+a_{1}t+...+a_{n^{2}}t^{n^{2}}$ anulador de $f$ .

Esto último por ser $A$ la matriz de $f$ en base ${\mathcal {B}}$ .

Por tanto, existen polinomios anuladores y podemos tomar, pues, uno que sea de grado mínimo. Si lo dividimos por el coeficiente del término de grado máximo, sigue siendo anulador y ahora también es mónico. Este polinomio, al que denotaremos por $m(t)\in \mathbb {K} [t]$ , es nuestro candidato a polinomio mínimo.

Sea pues $p(t)\in \mathbb {K} [t]$ un polinomio anulador de $f$ . Queremos ver que $m$ divide a $p$ . Hacemos la división entera de $p$ entre $m$ :

$p(t)=m(t)\cdot c(t)+r(t)$ , con $c,r\in \mathbb {K} [t],r=0$ o ${\text{gr}}~r<{\text{gr}}~m\quad (*)$

Si aplicamos la igualdad a $f$ , obtenemos que

$p(f)=m(f)\circ c(f)+r(f)$ ,

pero como $p$ y $m$ son anuladores de $f$ por definición,

$0=0\circ c(f)+r(f)\Rightarrow r(f)=0\Rightarrow r$ es anulador de $f$ .

Pero, por definición, $m$ es el polinomio anulador de grado mínimo, luego ${\text{gr}}~r\geq {\text{gr}}~m$ , de forma que, por $(*)$ , necesariamente $r=0\Rightarrow m$ divide a $p$ .

Para ver la unicidad, supongamos que hubiera dos polinomios $m$ y $m'$ mónicos de grado mínimo tales que fueran anuladores de $f.$ Por lo anterior, uno tiene que dividir al otro. Podemos suponer que $m$ divide a $m'$ . Pero como son mónicos y tienen el mismo grado, necesariamente $m=m'$ . $\quad \square$

Los siguientes tres enunciados son equivalentes:

$\lambda \in \mathbb {K}$ es una raíz de $m_{f}(t)$ ,
$\lambda$ es una raíz del polinomio característico de $A$ ,
$\lambda$ es un valor propio de $A$ .

La multiplicidad de la raíz $\lambda$ de $p(t)$ es el tamaño del mayor bloque de Jordan correspondiente a $\lambda$ .

El polinomio mínimo no es siempre el mismo que el polinomio característico. Consideremos la matriz $4I_{n}$ , que tiene como polinomio característico $(x-4)^{n}$ . Sin embargo, el polinomio mínimo es $x-4$ , ya que $4I-4I=0$ , por lo que son distintos para $n\geq 2$ . El hecho que el polinomio mínimo siempre divida el polinomio característico es consecuencia del teorema de Cayley–Hamilton.