Gaussin laki sähkökentille

Gaussin laki sähkökentille on Carl Friedrich Gaussin muotoilema vuonna 1835 ja se julkaistiin 1867. Gaussin laki antaa suljetun pinnan läpi virtaavan sähkövuon ${\displaystyle \Phi }$ ja pinnan sisäänsä sulkeman sähkövarauksen välisen relaation ^[1], ja on yksi Maxwellin yhtälöistä. Sen integraalimuoto on^[2]:

${\displaystyle \Phi =\oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =Q_{A},}$

missä ${\displaystyle \mathbf {D} }$ on sähkövuon tiheys (yksikkö C/m²), ${\displaystyle d\mathbf {A} }$ on pinnan differentiaalisen neliön pinta-ala siten, että ulospäin suuntautuva normaalivektori määrää sen suunnan, ${\displaystyle Q_{A}}$ on pinnan sisäänsä sulkema varaus ja ${\displaystyle \textstyle \oint _{A}}$ on pintaintegraali pinnan A yli.

Gaussin divergenssilauseen mukaan vektorikentän pintaintegraali suljetun pinnan A yli (eli kentän vuo) saadaan integroimalla divergenssiä pinnan sisäänsä sulkeman tilavuuden V yli, eli

${\displaystyle \oint _{A}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {A} =\iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {D} \ dV}$.

Pinnan sisäänsä sulkeman sähkövarauksen suuruus saadaan toisaalta integroimalla sähkövaraustiheyttä ρ (yksikkönä C/m³) saman tilavuuden yli, joten Gaussin laki saadaan muotoon

${\displaystyle \iiint _{V}\nabla \cdot \mathbf {D} \ dV=\iiint _{V}\rho \ dV}$.

Koska tämä pätee kaikille suljetuille pinnoille, saadaan integrandien välille yhteys

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho }$ ,

jota kutsutaan lain differentiaalimuodoksi.

Yhteys Coulombin lakiin

Coulombin lain mukaan varatun hiukkasen toiseen hiukkaseen kohdistama sähköstaattinen voima on verrannollinen hiukkasten varausten tuloon ja kääntäen verrannollinen niiden välisen etäisyyden neliöön.^[3] Coulombin laki seuraa Gaussin laista melko suoraan. Pistemäisen varauksen, jonka suuruus on ${\displaystyle q_{1}}$, aiheuttama sähkövuo r-säteisen pallopinnan yli on sähkövuon määritelmän mukaisesti

${\displaystyle \Phi =4\pi r^{2}|\mathbf {D} |}$.

Jos hiukkanen on pallon keskipisteessä, voidaan symmetrian perusteella olettaa että ${\displaystyle \mathbf {D} }$ on yhtäsuuri jokaisessa pinnan pisteessä ja osoittaa säteittäisesti pinnasta ulospäin. Toisaalta Gaussin lain mukaan vuon suuruus on ${\displaystyle \Phi =q_{1}}$, ja koska ${\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon _{0}\mathbf {E} }$, missä ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$ on tyhjiön permeabiliteetti, on ${\displaystyle q_{1}}$:n synnyttämä sähkökenttä

${\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q_{1}}{4\pi \varepsilon _{0}r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}$.

Tässä ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ on yksikkövektori, joka osoittaa varauksesta kohti tarkastelupistettä. Sähkökenttä kohdistaa varaukseen, jonka suuruus on ${\displaystyle q_{2}}$, voiman

${\displaystyle \mathbf {F} =q_{2}\mathbf {E} }$,

joten kahden varatun hiukkasen välinen voima on

${\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{4\pi \varepsilon }}{\frac {q_{1}q_{2}}{r^{2}}}{\hat {\mathbf {r} }}}$,

missä ${\displaystyle {\hat {\mathbf {r} }}}$ on nyt hiukkasesta toiseen osoittava yksikkövektori.

On mahdollista edetä myös toiseen suuntaan ja johtaa Gaussin laki staattisessa tilanteessa Coulombin lain pohjalta. Coulombin laki on voimassa vain staattisille varausjakaumille, kun taas Gaussin laki pätee myös yleisessä dynaamisessa tapauksessa.

Lähteet

Kirjallisuutta

• Lindell, Ismo; Sihvola, Ari: Sähkömagneettinen kenttäteoria 1. Staattiset kentät. Helsinki: Otatieto, 2013. ISBN 978-951-672-354-2.