Espace pseudo-métrique

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En mathématiques, un espace pseudo-métrique^[1] est un ensemble muni d'une pseudo-distance. C'est une généralisation de la notion d'espace métrique.

Sur un espace vectoriel, tout comme une norme induit une distance, une semi-norme induit une semi-distance. Pour cette raison, en analyse fonctionnelle et dans les disciplines mathématiques apparentées, l'expression « espace semi-métrique » est utilisée comme synonyme d'espace pseudo-métrique (alors qu'« espace semi-métrique » a un autre sens en topologie).

Définition

Une pseudo-distance sur un ensemble ${\displaystyle E}$ est une fonction

${\displaystyle \mathrm {d} :E\times E\to \mathbb {R} _{+}}$

telle que pour tout ${\displaystyle x,y,z\in E}$,

1. ${\displaystyle \mathrm {d} \left(x,x\right)=0}$ ;
2. ${\displaystyle \mathrm {d} \left(x,y\right)=\mathrm {d} \left(y,x\right)}$ (symétrie) ;
3. ${\displaystyle \mathrm {d} \left(x,z\right)\leq \mathrm {d} \left(x,y\right)+\mathrm {d} \left(y,z\right)}$ (inégalité triangulaire).

Autrement dit, une pseudo-distance est un écart à valeurs finies.

Un espace pseudo-métrique est un ensemble muni d'une pseudo-distance.

À la différence de ceux d'un espace métrique, les points d'un espace pseudo-métrique ne sont pas nécessairement discernables — c'est-à-dire que l'on peut avoir ${\displaystyle \mathrm {d} (x,y)=0}$ pour des points distincts ${\displaystyle x\neq y}$.

Exemples

Espace	Pseudo-distance	Propriétés et remarques
Un ensemble ${\displaystyle X}$ quelconque non vide.	${\displaystyle d(x,y):=0}$	Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si ${\displaystyle X}$ est un singleton.
L'espace ${\displaystyle \mathbb {R} ^{X}}$ des fonctions à valeurs réelles définies sur ${\displaystyle X}$.	${\displaystyle d(f,g):=|f(x_{0})-g(x_{0})|}$ où ${\displaystyle x_{0}\in X}$ est fixé.	Cette pseudo-distance vérifie la séparibilité si et seulement si ${\displaystyle X}$ est un singleton.
La tribu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ d'un espace mesuré ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ où ${\displaystyle \mu }$ est une mesure finie.	${\displaystyle d(A,B):=\mu (A\Delta B)}$ où ${\displaystyle \Delta }$ désigne la différence symétrique.	Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Fréchet–Nikodym–Aronszajn[2].
La tribu ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ d'un espace mesuré ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )}$ où ${\displaystyle \mu }$ est une mesure finie.	${\displaystyle d(A,B):={\frac {\mu (A\Delta B)}{\mu (A\cup B)}}}$ si ${\displaystyle \mu (A\cup B)\neq 0}$ et ${\displaystyle d(A,B):=0}$ sinon.	Cette pseudo-distance est parfois appelée la pseudo-distance de Markzewisky–Steinhaus[2].

Cas particuliers

• Si ${\displaystyle \mathrm {d} }$ est un écart sur un ensemble ${\displaystyle E}$, alors ${\displaystyle \min(1,\mathrm {d} )}$ est une pseudo-distance sur ${\displaystyle E}$.
• Si ${\displaystyle p}$ est une semi-norme sur un espace vectoriel ${\displaystyle V}$, alors ${\displaystyle \mathrm {d} \left(x,y\right):=p\left(x-y\right)}$ est une pseudo-distance sur ${\displaystyle V}$. Réciproquement, toute pseudo-distance invariante par translation et homogène provient d'une semi-norme.

Propriétés topologiques

La topologie pseudo-métrique^[3] associée à une pseudo-distance ${\displaystyle \mathrm {d} }$ est celle induite par l'ensemble des boules ouvertes :

${\displaystyle B_{r}\left(p\right)=\{x\in X\mid \mathrm {d} \left(p,x\right)<r\}}$.

Un espace topologique est dit « pseudo-métrisable » s'il existe une pseudo-distance dont la topologie associée coïncide avec celle de l'espace.

Remarque : un espace est métrisable si (et seulement si) il est pseudo-métrisable et T₀.

Identification métrique

En quotientant un espace pseudo-métrique par la relation d'équivalence d'annulation de la pseudo-distance, on obtient un espace métrique. Plus explicitement, on définit

${\displaystyle x\sim y\iff \mathrm {d} \left(x,y\right)=0}$,

et l'on obtient une distance ${\displaystyle \mathrm {d} ^{*}}$ sur ${\displaystyle E^{*}=E/\sim ~}$ en posant :

${\displaystyle \mathrm {d} ^{*}\left(\left[x\right],\left[y\right]\right)=\mathrm {d} \left(x,y\right)}$.

La topologie de l'espace métrique ${\displaystyle (E^{*},\mathrm {d} ^{*})}$ est la topologie quotient de celle de ${\displaystyle (E,\mathrm {d} )}$.

Notes et références

Bibliographie

• (en) A. V. Arkhangelskii et L. S. Pontryagin, General Topology I, Springer, 1990, 202 p. (ISBN 978-3-540-18178-1)
• (en) Eric Schechter, Handbook of Analysis and Its Foundations, Academic Press, 1997, 883 p. (ISBN 978-0-08-053299-8, lire en ligne)
• Laurent Schwartz, Cours d'analyse, vol. 2, Hermann, 1981, 475 p. (ISBN 978-2-7056-5765-9)
• (en) Lynn Arthur Steen et J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology, Dover, 1995, 244 p. (ISBN 978-0-486-68735-3, lire en ligne), p. 34

Voir aussi

• Espace métrique
• Espace quasi-métrique
• Espace uniforme

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