Problème de construction d'un triangle

En géométrie, un problème de construction d'un triangle est la recherche d'une construction à la règle et au compas d'un triangle à partir de trois éléments caractéristiques donnés (des longueurs ou des points : sommets ou centres de ce triangle).

Avec des longueurs de côtés et des mesures d'angles

La construction de triangles à partir de longueurs de côtés et de mesures d'angles données sont classiques.

On compte six problèmes dont la solution est "unique" dans le sens où elle donne des triangles isométriques^[1]^,^[2]:

SSS (side, side, side), avec les trois longueurs de côtés données
SAS (side, angle, side), avec deux longueurs de côtés et l'angle formé par ceux-ci donnés
ASA (angle, side, angle), avec une longueur de côté et les deux angles aux deux extrémités
AAS (angle, angle, side), avec une longueur de côté, un angle à une des deux extrémités, et l'angle au 3^e sommet du triangle
HL (hypotenuse, leg), qui vise à construire un triangle rectangle à partir de son hypoténuse et d'un des côtés.

Cas d'isométrie SSS
Cas d'isométrie SAS
Cas d'isométrie ASA
Cas d'isométrie AAS

La configuration AAA ne permet que d'obtenir des triangles semblables.

Configuration AAA : les deux triangles sont semblables, mais non isométriques.

La configuration SSA ne suffit pas pour déterminer des triangles isométriques, il faut pour cela ajouter une condition sur la nature acutangle ou obtusangle du triangle^[2].

Dans la configuration SSA, deux triangles non semblables peuvent être solutions.

Avec d'autres longueurs

D'autres problèmes prennent comme données possibles les longueurs des médianes, des hauteurs, des segments internes des bissectrices, le rayon du cercle circonscrit ou du cercle inscrit, ou encore le demi-périmètre .

En prenant un triplet de données parmi les longueurs, les mesures d'angles et les longueurs données ci-dessus, on atteint ${\textstyle {\binom {18}{3}}=816}$ problèmes dont 186 non-triviaux^[3].

Avec un triplet de points

Les points des compendiums de Wernick et Connelly

Compendium de Wernick

En utilisant les notations suivantes, Wernick considère les triplets de points parmi :

les sommets A, B, C et le centre du cercle circonscrit O
les milieux des côtés M_a, M_b, M_c et le centre de gravité G
les pieds des hauteurs H_a, H_b, H_c et l'orthocentre H
les pieds des bissectrices (internes) T_a, T_b, T_c et le centre du cercle inscrit I

Il existe alors ${\textstyle {\binom {16}{3}}=560}$ triplets possibles mais seulement 139 cas non triviaux, en enlevant les cas symétriques (les triplets (A, B, M_a) et (B, C, M_c) par exemple).

Wernick les sépare en quatre catégories :

R pour redundant : un des points du triplet est constructible à partir des deux autres. Le problème n'a alors aucune solution.
L pour locus : il n'existe pas de solution unique au problème mais un ensemble de solutions infini (une droite, un cercle).
S pour solvable : le triangle peut être construit à la règle et au compas (la méthode de construction n'est pas forcément connue).
U pour unsolvable ou unclassified : le triangle solution ne peut pas être construit à la règle et au compas ou le problème de la construction reste ouvert.

En 2012, on compte 72 problèmes classés S, 16 problèmes classés U, 3 classés R et 23 problèmes classés L.

Exemples

Un problème S simple est celui du triplet (A, B, G) , qui se résout comme suit :
- Tracer le milieu de [AB], qui est M_c
- Tracer le point C qui vérifie ${\overrightarrow {GC}}=2{\overrightarrow {M_{c}G}}$
Un problème S dont la solution n'est pas connue est le triplet (H, T_a, I).
Un problème L simple est celui du triplet (A, B, O), car tout point C sur le cercle de centre O et passant par A (et donc B) est solution
Les trois problèmes R sont redondants :
- (A, B, M_c) sont tous trois sur le même côté du triangle
- (A, M_a, G) sont tous trois sur une même médiane
- (O, G, H) sont tous trois sur la droite d'Euler du triangle
Un problème U prouvé comme irrésoluble est celui lié au triplet (A, G, T_c).

Compendium de Connelly

Aux points choisis par Wernick, Connelly ajoute le centre du cercle d'Euler N et les « points d'Euler » E_a, E_b, E_c (les intersections des hauteurs et du cercle d'Euler, soit les milieux des segments joignant les sommets et l'orthocentre).

Ce compendium apporte donc ${\textstyle {\binom {20}{3}}=1140}$ triplets possibles, dont 113 non triviaux : 73 problèmes classés S, 16 problèmes classés U, 5 classés R et 19 problèmes L.

Références

↑ (en) « How To Prove Triangles Congruent - SSS, SAS, ASA, AAS Rules »
↑ ^{a et b} (en) Alexander F. Mironychev, « SAS and SSA Conditions for Congruent Triangles », Journal of Mathematics and System Science, vol. 8,‎ 2018, p. 59-66 (DOI 10.17265/2159-5291/2018.02.003, lire en ligne)
↑ (en) George Berzsenyi, « Constructing triangles from three given parts », Quantum, vol. 4, n^o 6,‎ juillet/août 1994 (lire en ligne)

Voir aussi

Bibliographie

(en) « On-line compendiums of triangle location construction problems »
(en) William Wernick, « Triangle Constructions with Three Located Points », Mathematics Magazine, vol. 55, n^o 4,‎ 1982.
(en) Leroy F. Meyers, « Update on William Wernick's "Triangle Constructions with Three Located Points" », Mathematics Magazine, Taylor & Francis, Ltd., vol. 69, n^o 1,‎ février 1996, p. 46-49 (DOI 10.2307/2691396, JSTOR 2691396)
(en) Harold Connelly, « An Extension of Triangle Constructions from Located Points », Forum Geometricorum, vol. 9,‎ 2009 (lire en ligne).
(en) Vesna Marinkovic et Predrag Janicic, « Towards Understanding Triangle Construction Problems », Intelligent Computer Mathematics - CICM 2012. Lecture Notes in Computer Science, Springer, vol. 7362,‎ 2012 (lire en ligne).
(en) Vesna Marinkovic, Pascal Schreck et Predrag Janicic, « Computer Theorem Proving for Verifiable Solving of Geometric Construction Problems », Automated Deduction in Geometry 2014, LNCS 9201, Springer,‎ 2015 (lire en ligne).
(en) Vesna Marinkovic, « ArgoTriCS - Automated Triangle Construction Solver », Journal of Experimental and Theoretical Artificial Intelligence, vol. 29, n^o 2,‎ 2007, p. 247-271 (DOI 10.1080/0952813X.2015.1132271).

Articles connexes

v · m Triangles
Description	Sommet Apex Côté Angle Base
Types	Triangle équilatéral Triangle isocèle Triangle d'or Triangle rectangle Angle droit Cathète Hypoténuse Triangle de Kepler Triangle obtusangle Triangle acutangle Triangle isocèle rectangle Triangle pseudo-rectangle Triangle scalène Triangle de Héron
Points remarquables (Nombre de Kimberling)	Centres : Centre du cercle inscrit Centre de gravité Centre du cercle circonscrit Orthocentre Centre du cercle d'Euler Centre du cercle de Spieker Points de Brocard Points de Feuerbach Point de Fermat ou Point de Torricelli Point de Longchamps Point de Miquel Point de Gergonne Point de Nagel Point de Vecten Points isogonaux Points isodynamiques Point de Lemoine Points de Terquem Points de Napoléon Mittenpunkt
Droites remarquables	Cévienne Hauteur Médiane Bissectrice Médiatrice Droite de Brocard Droite d'Euler Droite de Lemoine Droite de Newton Droite de Simson (ou droite de Wallace) Droite de Steiner Ménélienne Symédiane Axe orthique Droite centrale
Cercles remarquables	Cercle circonscrit Cercle exinscrit Cercle inscrit Cercle d'Euler Cercle d'Apollonius Cercles de Lemoine Cercle de Longchamps Cercle de Miquel Cercle de Taylor Cercle de Tucker Cercle podaire Cercle de Brocard Cercle de Spieker Cercle de Fuhrmann Cercles de Johnson Cercle pédal
Triangles remarquables	Triangle de Bevan Triangle de Feuerbach Triangle de Gergonne Triangle de Morley Triangle de Nagel Triangle inscrit de périmètre minimal (Problème de Fagnano) Triangle médian Triangle orthique Triangle podaire Triangle tangentiel Triangle de Fuhrmann
Courbes remarquables	Deltoïde de Steiner Coniques Conique inscrite de Serret (ou de MacBeath) Conique orthique Hyperbole de Kiepert Paraboles Parabole tritangente Parabole de Kiepert Ellipses Ellipse de Mandart Ellipse de Steiner Coniques circonscrites et inscrites à un triangle Cubiques
Théorèmes	Théorème de Pythagore Théorème de Thalès Théorème de Napoléon Théorème japonais de Carnot Théorème de Ménélaüs Théorème de Morley Théorème de Nagel Théorème de Neuberg Théorème de Hamilton Théorème d'Euler Théorème de Feuerbach Théorème de Viviani Avec des céviennes Théorème de Ceva Théorème de Gergonne Théorème de Stewart Théorème de Terquem Théorème de Routh Théorème de Jacobi Avec des cercles Théorème des six cercles Théorème des trois cercles de Miquel
Relations entre triangles	Triangles isométriques Triangles semblables Inégalités dans le triangle
Résolution	Loi des cosinus Loi des sinus Loi des tangentes Loi des cotangentes Aire Formule de Héron