Decomposizione JSJ

In geometria la decomposizione JSJ è un teorema riguardante le 3-varietà. Il nome è legato alle iniziali dei tre matematici che formularono il teorema alla fine degli anni settanta, e cioè William Jaco, Peter Shalen e Klaus Johannson.

Il teorema garantisce che ogni 3-varietà irriducibile si decompone lungo tori in modo unico. Per questo è anche chiamato teorema di decomposizione lungo tori. Può essere interpretato come una seconda decomposizione, dopo quella lungo sfere garantita dal teorema di Kneser-Milnor. Il teorema è un ingrediente fondamentale nella formulazione della congettura di geometrizzazione di Thurston.

Enunciato

L'enunciato può essere espresso in vari modi diversi. Sia M {\displaystyle M} una 3-varietà irriducibile. Tutte le superfici e le mappe menzionate sono supposte differenziabili.

Isotopia

Un toro incompressibile T 0 ⊂ M {\displaystyle T_{0}\subset M} è importante se per ogni altro toro incompressibile T 1 ⊂ M {\displaystyle T_{1}\subset M} esiste una isotopia che sposta T 1 {\displaystyle T_{1}} in un altro toro T 1 ′ {\displaystyle T_{1}'} disgiunto da T 0 {\displaystyle T_{0}} . Qui per isotopia si intende una isotopia della mappa inclusione

i : T 1 ↪ M {\displaystyle i:T_{1}\hookrightarrow M}

che trasforma i {\displaystyle i} in i ′ {\displaystyle i'} con i ′ ( T 1 ) = T 1 ′ {\displaystyle i'(T_{1})=T_{1}'} .

Due tori disgiunti T 1 {\displaystyle T_{1}} e T 2 {\displaystyle T_{2}} in M {\displaystyle M} sono paralleli se sono il bordo di una sottovarietà con bordo di M {\displaystyle M} omeomorfa a T 1 × [ − 1 , 1 ] {\displaystyle T_{1}\times [-1,1]} . Il teorema JSJ asserisce il fatto seguente.

In M {\displaystyle M} esiste un'unica famiglia massimale T 1 , … , T k {\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{k}} di tori importanti disgiunti e non paralleli a coppie. La famiglia è unica a meno di isotopie.

Nell'enunciato, per "unicità a meno di isotopia" si intende che due famiglie di questo tipo T 1 , … , T k {\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{k}} e T 1 ′ , … , T h ′ {\displaystyle T_{1}',\ldots ,T_{h}'} hanno la stessa cardinalità k = h {\displaystyle k=h} ed esiste una isotopia ambiente di M {\displaystyle M} che sposta contemporaneamente ogni T i {\displaystyle T_{i}} su T i ′ {\displaystyle T_{i}'} (a meno di riordinare i tori).

Varietà di Seifert

L'enunciato seguente è più noto; fa uso delle varietà di Seifert.

In M {\displaystyle M} esiste un'unica famiglia minimale T 1 , … , T k {\displaystyle T_{1},\ldots ,T_{k}} di tori incompressibili disgiunti il cui complementare è unione di varietà di Seifert e varietà atoroidali.

L'unicità è a meno di isotopia, come nell'enunciato precedente. La famiglia qui è però minimale, dove prima era massimale.

Bibliografia

  • (EN) Jaco, William H.; Shalen, Peter B. Seifert fibered spaces in 3-manifolds. Mem. Amer. Math. Soc. 21 (1979), no. 220,
  • (EN) Jaco, William; Shalen, Peter B. Seifert fibered spaces in 3-manifolds. Geometric topology (Proc. Georgia Topology Conf., Athens, Ga., 1977), pp. 91-99, Academic Press, New York-London, 1979.
  • (EN) Jaco, William; Shalen, Peter B. A new decomposition theorem for irreducible sufficiently-large 3-manifolds. Algebraic and geometric topology (Proc. Sympos. Pure Math., Stanford Univ., Stanford, Calif., 1976), Part 2, pp. 71-84, Proc. Sympos. Pure Math., XXXII, Amer. Math. Soc., Providence, R.I., 1978.
  • (EN) Johannson, Klaus, Homotopy equivalences of 3-manifolds with boundaries. Lecture Notes in Mathematics, 761. Springer, Berlin, 1979. ISBN 3-540-09714-7

Voci correlate

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