Valore atteso condizionato

Nella teoria della probabilità, il valore atteso condizionato (o media condizionata) di una variabile casuale è il suo valore atteso rispetto ad una distribuzione di probabilità condizionata.

Trattamento discreto

Il punto di partenza è la definizione di probabilità condizionata: dati due eventi $A,B$ , la probabilità di $A$ dato $B$ è

P(A|B)={\begin{cases}0&{\text{se}}\;P(B)=0\\{\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}&{\text{altrimenti}}\end{cases}}

Allo stesso modo si può estendere la probabilità condizionata quando $A,B$ sono esiti di due variabili casuali:

P(X\in A|Y\in B)={\frac {P(\{X\in A\}\cap \{Y\in B\})}{P(\{Y\in B\})}}

(se il denominatore è diverso da 0; 0 altrimenti). In particolare, se $B=\{y\},A=\{x\}$ , si ha

P(X=x|Y=y)={\frac {P(X=x\wedge Y=y)}{P(Y=y)}}

che, lasciando fisso $y$ , può essere mediato:

E[X|Y=y]=\sum _{x}x{\frac {P(X=x\wedge Y=y)}{P(Y=y)}}

definendo quindi $E[X|Y]$ come quella variabile casuale che vale $E[X|Y=y]$ quando $Y=y$ . Questa definizione, tuttavia, è consistente solamente nel caso in cui $X,Y$ siano discrete, ma perde di senso quando sono continue, in quanto la probabilità che $Y$ sia un certo valore $y$ (così come quella che $X$ sia $x$ ) è sempre 0. Per eliminare queste difficoltà la definizione prende strade diverse.

Definizione

Data una variabile aleatoria X e una σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ , un valore atteso condizionato di X rispetto a ${\mathfrak {F}}$ è una variabile aleatoria Y tale che

Y è misurabile rispetto a ${\mathfrak {F}}$ ;
Y è in L¹, cioè il suo modulo |Y| ha media finita;
$E[Y1_{F}]=E[X1_{F}]$ per ogni $F\in {\mathfrak {F}}$ (1 è la funzione indicatrice).

Il risultato fondamentale che rende questa definizione sensata è l'esistenza, per ogni variabile aleatoria integrabile X e per ogni σ-algebra, di un valore atteso condizionato; inoltre due variabili aleatorie con queste caratteristiche sono uguali quasi certamente, e quindi possono essere considerate sostanzialmente "le stesse"; in tal caso si scrive

Y=E[X|{\mathfrak {F}}]

Tale risultato può essere dimostrato a partire dal teorema di Radon-Nikodym, oppure tramite un argomento di approssimazione.

La definizione è consistente con quella elementare ponendo

E[X|Z]=E[X|\sigma (Z)]

cioè se si considera la σ-algebra generata dalla variabile casuale Z.

Il valore atteso condizionato può essere interpretato come la miglior approssimazione che è possibile fare di X data l'"informazione" contenuta nella σ-algebra ${\mathfrak {F}}$ : così come la media E[X] minimizza la funzione $E[(X-c)^{2}]$ quando c è un numero reale (ovvero una funzione misurabile sulla σ-algebra banale $\{\varnothing ,\Omega \}$ ), così il valore condizionato $E[X|{\mathfrak {F}}]$ minimizza $E[(X-Y)^{2}]$ tra le variabili aleatorie ${\mathfrak {F}}$ -misurabili. Ovviamente questa interpretazione può essere data solo quando X appartiene a L².

Proprietà

Il valore atteso condizionato verifica tutte le maggiori proprietà del valore atteso: è positivo (cioè se $X\geq 0$ allora $E[X|{\mathfrak {F}}]\geq 0$ ), lineare, e verifica i teoremi della convergenza monotona, della convergenza dominata e il lemma di Fatou quando le ipotesi sono verificate dalla successione {X_n}: ad esempio, se le X_n sono positive e la successione è crescente verso X, allora

\lim _{n\to \infty }E[X_{n}|{\mathfrak {F}}]=E[X|{\mathfrak {F}}]

Un'altra proprietà fondamentale è la possibilità di calcolare una media attraverso il condizionamento: per ogni variabile aleatoria X e per ogni σ-algebra si ha

E[X]=E[E[X|{\mathfrak {F}}]]

formula che è utile nel calcolo di alcune medie, come nel caso in cui X è una variabile aleatoria definita da un parametro che è anch'esso aleatorio. (Ad esempio, X potrebbe essere una variabile aleatoria binomiale in cui il numero di lanci è una variabile di Poisson.) Un'altra caratteristica è la "proprietà della torre": se ${\mathfrak {H}}\subseteq {\mathfrak {G}}$ sono due σ-algebre, allora