スツルム＝リウヴィル型微分方程式

スツルム＝リウヴィル型微分方程式（-がたびぶんほうていしき、英: Sturm–Liouville equation）とは、ジャック・シャルル・フランソワ・スツルム（英語版） (1803–1855) と ジョゼフ・リウヴィル (1809–1882) に由来する以下の形の2階の実数係数斉次線形微分方程式

− d d x [ p ( x ) d y d x ] + q ( x ) y = λ w ( x ) y {\displaystyle -{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}\left[p(x){\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}\right]+q(x)y=\lambda w(x)y}
(1 )

のことである。ここで y は関数であり、x は実数変数である。実数係数関数 p (x ) > 0, q (x ), w (x ) > 0 は予め与えられていて、 w は重み関数と呼ばれる。定数λは未定である。

y = 0 (for ∀x )は任意のλに対して(1)の解であるが、これを自明な解という。自明でない解が存在するかどうかはλに依存する。

予め決められた境界条件のもとで、自明でない(1)の解 y が存在するようなλを見つけることをスツルム＝リウヴィルの固有値問題と呼ぶ。このとき、λを固有値、y を固有関数と呼ぶ。

例

微分方程式(1)の左辺の形式をSturm–Liouville 形式 とか 自己随伴形式と呼ぶ。任意の形の2階の線形微分方程式

P ( x ) y ″ + Q ( x ) y ′ + R ( x ) y = 0 {\displaystyle P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y=0\,}

は以下のように、

P ( x ) y ″ + Q ( x ) y ′ + R ( x ) y = 0 exp ⁡ ( ∫ Q ( x ) P ( x ) d x ) ( y ″ + Q ( x ) P ( x ) y ′ + R ( x ) P ( x ) y ) = 0 ( y ′ exp ⁡ ( ∫ Q ( x ) P ( x ) d x ) ) ′ + exp ⁡ ( ∫ Q ( x ) P ( x ) d x ) R ( x ) P ( x ) y = 0 {\displaystyle {\begin{aligned}P(x)y''+Q(x)y'+R(x)y&=0\\\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,\mathrm {d} x\right)\left(y''+{\frac {Q(x)}{P(x)}}y'+{\frac {R(x)}{P(x)}}y\right)&=0\\\left(y'\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,\mathrm {d} x\right)\right)'+\exp \left(\int {\frac {Q(x)}{P(x)}}\,\mathrm {d} x\right){\frac {R(x)}{P(x)}}y&=0\end{aligned}}}

Sturm–Liouville 形式に変形することができる。

たとえば ベッセル方程式

x 2 y ″ + x y ′ + ( x 2 − ν 2 ) y = 0 {\displaystyle x^{2}y''+xy'+(x^{2}-\nu ^{2})y=0}

は

( x y ′ ) ′ + x y = ν 2 x y {\displaystyle (xy')'+xy={\frac {\nu ^{2}}{x}}y}

とSturm–Liouville 形式に変形できる。

その他の例としては、

ルジャンドルの微分方程式

( ( 1 − x 2 ) y ′ ) ′ + ν ( ν + 1 ) y = 0 {\displaystyle \left((1-x^{2})y'\right)'+\nu (\nu +1)y=0}

エルミートの微分方程式

( e − x 2 y ′ ) ′ + 2 ν e − x 2 y = 0 {\displaystyle \left(\mathrm {e} ^{-x^{2}}y'\right)'+2\nu \mathrm {e} ^{-x^{2}}y=0}

ラゲールの微分方程式

( x e − x y ′ ) ′ + ν e − x y = 0 {\displaystyle \left(x\mathrm {e} ^{-x}y'\right)'+\nu \mathrm {e} ^{-x}y=0}

がある。

Sturm–Liouville 理論

p (x ) > 0, w (x ) > 0 が成り立ち、かつ、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が有限閉区間 [a, b]で連続であり、さらに、分離された同次境界条件

α 1 y ( a ) + α 2 y ′ ( a ) = 0 ( α 1 2 + α 2 2 > 0 ) , {\displaystyle \alpha _{1}y(a)+\alpha _{2}y'(a)=0\qquad \qquad \qquad (\alpha _{1}^{2}+\alpha _{2}^{2}>0),}
(2)
β 1 y ( b ) + β 2 y ′ ( b ) = 0 ( β 1 2 + β 2 2 > 0 ) , {\displaystyle \beta _{1}y(b)+\beta _{2}y'(b)=0\qquad \qquad \qquad (\beta _{1}^{2}+\beta _{2}^{2}>0),}
(3)

を持つとき、この境界値問題をスツルム＝リウヴィル型の境界値問題という。


スツルム＝リウヴィル型の境界値問題において、以下のことが言える(Sturm–Liouville 理論):

  • 固有値はすべて実数で、離散的な値をとる。固有値は最小値をもつが最大値は持たない。
  • 固有値を小さい順にλ1 , λ2 , λ3 , ... と番号をつけると、固有値 λn に対応する固有関数 yn (x ) は定数倍をのぞいて実関数として一意に存在し、開区間 (a, b) にn −1 個の零点を持つ。
  • 規格化された固有関数は、境界条件(2)(3)を満たす関数のつくるヒルベルト空間において、正規直交基底を形成する。ただし、内積は ⟨ f , g ⟩ = ∫ a b f ( x ) g ( x ) w ( x ) d x {\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{a}^{b}f(x)g(x)w(x)\,\mathrm {d} x} で定義される。


なお、p (x ), p' (x ), q (x ), w (x ) が連続という条件が満たされないとき、方程式は弱い意味で成り立つ（弱解）と考えなければいけない。

関連項目

参考文献

  • Teschl, Gerald (2012). Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0. http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/  (Chapter 5)
  • Teschl, Gerald (2009). Mathematical Methods in Quantum Mechanics; With Applications to Schrödinger Operators. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-4660-5. http://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/  (see Chapter 9 for singular S–L operators and connections with quantum mechanics)
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