ブリアンションの定理

ブリアンションの定理

ブリアンションの定理（ブリアンションのていり）は、フランスの数学者シャルル・ブリアンション(Charles Julien Brianchon)が発表した幾何学に関する定理[1][2][3][4][5][6]。一つの円錐曲線に接する六つの接線により構成された六角形がP1P2P3P4P5P6だとすると、直線P1P4,P2P5,P3P6は一点で交わる[7][8][9][10][11][12][13]。双対の定理はパスカルの定理である。

ブリアンションの定理は一般に4n+2角形に一般化され、2n本が共点であるとき残りの一本も同じ点で交わる（メビウスにより発見された）[2][14]。

退化

六角形を三角形に退化させると、円錐曲線は、その三角形の内接円錐曲線になる。特に楕円の場合、内接楕円（英語版）になる。このときP1P4,P2P5,P3P6の交点はブリアンション点または核心と呼ばれる[15]。

証明

円の場合のブリアンションの定理は根軸を応用して証明される[16]。任意の長さMNの線分を接点を起点として接線上にとる。このとき接点でない方の線分の端と、反対の接線の、接点でない方の線分の端で、接線に接する円を描く。このようにして出来た3円の根軸はピトーの定理から六角形の頂点と反対の点を結んだ直線だと分かる。根軸定理より、この3線は、一点（根心）で交わる。

関連項目

出典

  1. ^ “平面幾何の美しい定理4つ”. 高校数学の美しい物語 (2021年3月7日). 2024年6月30日閲覧。
  2. ^ a b Weisstein, Eric W.. “Brianchon's Theorem” (英語). mathworld.wolfram.com. 2024年6月30日閲覧。
  3. ^ “brianchon's theorem”. Bing. 2024年6月30日閲覧。
  4. ^ 法則の辞典,世界大百科事典内言及. “ブリアンションの定理とは？ 意味や使い方”. コトバンク. 2024年6月30日閲覧。
  5. ^ “Brianchon theorem - Encyclopedia of Mathematics”. encyclopediaofmath.org. 2024年6月30日閲覧。
  6. ^ (English) The Penguin dictionary of curious and interesting geometry. http://archive.org/details/ThePenguinDictionaryOfCuriousAndInterestingGeometry 
  7. ^ Graustein, William C. (1920). Introduction To Higher Geometry. http://archive.org/details/in.ernet.dli.2015.149667 
  8. ^ Casey, John (1886). A sequel to the first six books of the Elements of Euclid, containing an easy introduction to modern geometry, with numerous examples. University of California Libraries. Dublin : Hodges, Figgis & co.. http://archive.org/details/sequeltofirstsix00caserich 
  9. ^ A. S. Smogorzhevskii (1961). The Ruler In Geometrical Constructions (Popular Lectures In Mathematics Vol. 5). http://archive.org/details/smogorzhevskii-the-ruler-in-geometrical-constructions-popular-lectures-in-mathematics-vol.-5 
  10. ^ Rupp, Charles A. (1929). “An Extension of Pascal's Theorem”. Transactions of the American Mathematical Society 31 (3): 580–594. doi:10.2307/1989535. ISSN 0002-9947. https://www.jstor.org/stable/1989535. 
  11. ^ “Modern geometry; an elementary treatise on the geometry of the triangle and the circle” (英語). HathiTrust. 2024年6月30日閲覧。
  12. ^ Ogilvy, C. Stanley (Charles Stanley) (1990). Excursions in geometry. Internet Archive. New York : Dover Publications. ISBN 978-0-486-26530-8. http://archive.org/details/excursionsingeom0000ogil_w9f7 
  13. ^ “Geometry Revisited” (英語). Cambridge Core. 2024年6月30日閲覧。
  14. ^ Möbius, August Ferdinand; Baltzer, Richard; Klein, Felix; Scheibner, W. (Wilhelm) (1885). Gesammelte Werke. University of Michigan. Leipzig: S. Hirzel. http://archive.org/details/aax2934.0004.001.umich.edu 
  15. ^ 一松信 編『重心座標による幾何学』（初版）現代数学社、京都市、2014年。ISBN 978-4-7687-0437-0。 
  16. ^ “Brianchon”. users.math.uoc.gr. 2024年6月30日閲覧。
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