数のクラス分け

数のクラス分け（かずのクラスわけ）とは、Robert Munafoが考案した数字の大きさによるグループ分けであり、人間の心が数字をどのように理解するかによって分類をした。

クラス0の数字

クラス0の数字は、わずかな時間で認識できる数字である。多くの人間にとって、その数字は0から6までである。

クラス1の数字

クラス1の数字は、物体のまとまりとして、おおよその数を把握できる数字で、クラス0よりも大きい数字である。つまり、${\displaystyle x}$ がクラス1の数字であれば、${\displaystyle x}$ 個の物体を一目で見ることができる。クラス1の数字は、${\displaystyle 6}$超過から${\displaystyle 10^{6}}$ (100万)以下までとされている。100万個の物体を一度に視野に入れることは難しいが、不可能ではないためである。

クラス2の数字

クラス2の数字は、10進数で正確に表記出来るだけの大きさで、クラス1よりは大きな数である。クラス2の数字は ${\displaystyle 10^{6}}$ 超過から${\displaystyle 10^{10^{6}}}$  以下までである。これは単純に、クラス0とクラス1の関係をそのまま続けて、クラス ${\displaystyle x}$ の数の常用対数(10を底とした対数)がクラス (${\displaystyle x-1}$) の数となるように定義をした。したがって、グーゴルは101桁の数字として書くことができるため、このクラスの数になる。

クラス3の数字

クラス3の数字は、仮数・指数表記で近似的に表現できる数字である。これまでのパターンを踏襲して、数字の範囲は ${\displaystyle 10^{10^{6}}}$超過 から  ${\displaystyle 10^{10^{10^{6}}}}$以下までとなる。グーゴルプレックスはクラス3の数字である。

コンピュータの中で指数として数字を記憶する時には、クラス3の数字 ${\displaystyle x}$ は ${\displaystyle x+1}$ とほぼ等しい。

クラス4の数字

クラス4の数字は10の対数を取るとクラス3になる。${\displaystyle 10^{10^{10^{6}}}}$超過から ${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{6}}}}}$ 以下までの数字である。コンピュータの中で指数タワーとして記憶すると、クラス4の数字 ${\displaystyle x}$ は ${\displaystyle 2x}$ とほぼ等しくなる。クラス4以上の数字は近似計算の場合、仮数・指数表記にしようとしても仮数が意味をなさなくなる。

さらに高いクラス

クラス5の数字は10の対数を取るとクラス4になる。  ${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{6}}}}}$超過から ${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{6}}}}}}$以下までである。もしそれを指数タワーで表すと、クラス5の数字 ${\displaystyle x}$ は大体 ${\displaystyle x^{2}}$である。

一般的に、クラス ${\displaystyle n}$ の数はクラス ${\displaystyle n-1}$ の数よりも大きく、10の対数を取るとクラス ${\displaystyle n-1}$ となる。また、クラス ${\displaystyle n}$ の数はハイパーE表記で ${\displaystyle E6\#n}$ 以下の数である。

定義

0以上の実数 ${\displaystyle x}$ のクラスを${\displaystyle f(x)}$としたとき、${\displaystyle f(x)}$を次のように定義する。

${\displaystyle c(0)=6}$

${\displaystyle c(n+1)=10^{c(n)}}$

${\displaystyle f(x)=\min\{n|c(n)\geq x\}}$

計算例

実際に具体的な数がどのクラスに属するかを提示する。ここではクラス6以上の数について扱う。

• グーゴルクアドリプレックス(${\displaystyle 10^{10^{10^{10^{10^{100}}}}}}$)　クラス${\displaystyle 6}$
• ベントレー数(${\displaystyle \sum _{i=0}^{9}10\uparrow \uparrow i\approx 10\uparrow \uparrow 9}$)　クラス${\displaystyle 6}$
• スタインハウスのメガ(${\displaystyle 2[5]}$)　クラス${\displaystyle 256}$
• トリトリ(${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3}$)　クラス${\displaystyle 7625597484986}$

ハイパークラス

クラスよりも大きな数を分けるものとしてハイパークラスが定義されている。

これは、巨大数論(フィッシュ 著)の本の中でのみ使用された定義である。

定義

${\displaystyle 0}$以上の実数 ${\displaystyle x}$ のハイパークラスを${\displaystyle f(x)}$としたとき、${\displaystyle f(x)}$を次のように定義する。

${\displaystyle hc(0)=6}$

${\displaystyle hc(n+1)=c(hc(n))}$

${\displaystyle f(x)=\min\{n|hc(n)\geq x\}}$

${\displaystyle c(n)}$の増加速度は、テトレーションレベルである。

そのため、テトレーションの積む段数が多すぎると数を評価しにくくなる。

そのため、ペンテーションレベルの数を評価するうえでハイパークラスは適している。

ただし、ペンテーションを超えてくると評価しにくくなるので(ヘキセーションなど)、そこで頭打ちになる。

計算例

実際に具体的な数がどのハイパークラスに属するかを提示する。

• トリトリ(${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3}$)　ハイパークラス${\displaystyle 2}$
• スタインハウスのメジストロン(${\displaystyle 10[5]}$)　ハイパークラス${\displaystyle 11}$
• ギャゴル(${\displaystyle \{10,100,3\}}$)　ハイパークラス${\displaystyle 100}$
• グラハル(${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3}$)　ハイパークラス${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3}$

それ以上の数

グラハルの時点でハイパークラス${\displaystyle 3\uparrow \uparrow \uparrow 3}$というとんでもなく大きいクラスだが、クラス数に巨大数が使われているため分かりにくい。

これ以上の矢印を数え上げたりするような数等に関しては、急増加関数等を使って数を階層化する必要がある。

脚注

関連項目

• 巨大数
• テトレーション
• クヌースの矢印表記
• 数の比較
• グラハム数を超える巨大数の一覧

参考文献

• クラス - 巨大数研究 Wiki
• 巨大数論 第2版
• 巨大数入門
• クラス | 巨大数研究 Wiki | Fandom
• Large Numbers at MROB
• Large Numbers (page 2) at MROB
• 数の一覧 | 巨大数研究 Wiki | Fandom

外部リンク