Thèta-functie

In de wiskunde zijn thèta-functies een speciale klasse van functies van meerdere complexe variabelen.

Thèta-functies spelen een rol in de theorie van de elliptische functies en kwadratische vormen. De eerste wiskundige die thèta-functies systematisch onderzocht was Carl Gustav Jacob Jacobi.

Definitie

Klassieke thètafunctie

De klassieke jacobische thètafunctie wordt gedefinieerd door

Θ ( z , τ ) := ∑ n = − ∞ ∞ e π i n 2 τ + 2 π i n z {\displaystyle \Theta (z,\tau ):=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau +2\pi inz}}

Moderne definitie volgens Whittaker en Watson:

ϑ 00 ( x ; y ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − y 2 n ) [ 1 + 2 cos ⁡ ( 2 x ) y 2 n − 1 + y 4 n − 2 ] {\displaystyle \vartheta _{00}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}
ϑ 01 ( x ; y ) = ∏ n = 1 ∞ ( 1 − y 2 n ) [ 1 − 2 cos ⁡ ( 2 x ) y 2 n − 1 + y 4 n − 2 ] {\displaystyle \vartheta _{01}(x;y)=\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1-2\cos(2x)y^{2n-1}+y^{4n-2}]}
ϑ 10 ( x ; y ) = 2 y 1 / 4 cos ⁡ ( x ) ∏ n = 1 ∞ ( 1 − y 2 n ) [ 1 + 2 cos ⁡ ( 2 x ) y 2 n + y 4 n ] {\displaystyle \vartheta _{10}(x;y)=2y^{1/4}\cos(x)\prod _{n=1}^{\infty }(1-y^{2n})[1+2\cos(2x)y^{2n}+y^{4n}]}

Zie ook

Literatuur

  • (de) Adolf Krazer: Lehrbuch der Thetafunktionen (Leerboek van de Thetafuncties) Leipzig: B. G. Teubner, 1903.
  • Whittaker, E. T. and Watson, G. N. A Course in Modern Analysis, 4th ed. Cambridge, England: Cambridge University Press, 1990. pp. 469-470