Bidomene-modellen

Bidomene-modellen er en matematisk modell av hjertemuskelens elektriske egenskaper. Den er en kontinuumsmodell basert på forskjeller mellom det ekstracellulære og instracellulære domenet – området på innsiden av og på utsiden av muskelceller – der hver av disse er antatt å eksistere overalt, definert ut fra et lokalt gjennomsnitt. Bidomene-modellen er formulert som et ligningssett, bidomene-ligningene, som sammen med gitte randbetingelser kan løses i et gitt domene.

Bidomene-modellen ble utviklet på slutten av 1970-tallet, første gang presentert av Leslie Tung i januar 1978.^[1][2] Den brukes i dag blant annet til å modellere defibrillering av hjertet.^[3]

Grunnlag

Hjertemuskelen består av muskelceller, der man regner området som er på innsiden av disse som det intracellulære området og området som er rundt, utenfor, som det ekstracellulære området. I bidomene-modellen antar man at disse eksisterer overalt, og at hvert punkt i et gitt domene har egenskaper som tilhører hvert av disse. Som vanlig i kontinuumsmodeller er disse egenskapene basert på gjennomsnittsverdier i et lite område rundt et gitt punkt i domenet.^[2]

Spenningsforskjell i det ekstracellulære og det intracellulære området, membranpotensialet, karakteriserer alle muskelceller. Dette er vesentlig for hjertet og dets funksjonalitet. Bidomene-modellen kobler sammen ligninger som beskriver et legemets elektriske egenskaper generelt, og ligninger som karakteriserer denne forskjellen.^[1]

Muskelfibrene i hjertet er organisert i lag der hvert lag består av «rør» av sarkomerer. Disse er lokalt velorganisert og går i samme retning. Man kan derfor lokalt definere tre vektorer som henholdsvis angir retningen disse går i, retningen på tvers (men i samme lag) og normalen av disse, som vil være på hvers av lagene.^[4] Konduktansverdiene til hjertevevet avhenger av denne retningen, og antas å være sterkest i samme retning som muskelfibrene, dernest kommer på tvers av disse og minst i retning av normalen. Den er videre ulik i det ekstracellulære og det intracellulære området.^[2]

Matematisk modell

Standardformulering

Bidomene-ligningene er gitt ved

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(\left(M_{i}+M_{e}\right)\nabla v_{e}\right)&=0\\\nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v_{e}\right)&=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)\end{alignedat}}}$

der ${\displaystyle \chi }$ angir cellemembranens overflateareal, per enhetsvolum, ${\displaystyle C_{m}}$ cellemembranens elektriske kapasitans per enhetsareal, ${\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}$ er ${\displaystyle v_{i}}$ den intracellulære spenningen og ${\displaystyle v_{e}}$ den ekstracellulære spenningen, og ${\displaystyle I_{\mathrm {ion} }}$ ionestrømmen over membranen per enhetsareal.^[2]

Sammen med gitte randbetingelser kan man løse disse ligningene over et gitt domene numerisk.^[2]

Utledning

La ${\displaystyle \Omega }$ med rand ${\displaystyle \partial \Omega }$ betegne alle punkter ${\displaystyle x}$ i hjertet. I hvert punkt i ${\displaystyle \Omega }$ kan vi definere en intra- og ekstracellulær spenning, samt en intra- og ekstracellulær strøm, kalt henholdsvis ${\displaystyle v_{i}}$, ${\displaystyle v_{e}}$, ${\displaystyle J_{i}}$ og ${\displaystyle J_{e}}$. Konduktansen i det intra- og ekstracellulære domenet er videre gitt ved ${\displaystyle M_{i}}$ og ${\displaystyle M_{e}}$.

Vi antar at forholdet mellom strøm, spenning og konduktans er gitt ved Ohms lov, hvilket gir

${\displaystyle {\begin{alignedat}{2}J_{i}&=-M_{i}\nabla v_{i}\\J_{e}&=-M_{e}\nabla v_{e}.\end{alignedat}}}$

Vi antar at ladning ikke akkumuleres i noe enkeltpunkt i ${\displaystyle \Omega }$ – så total ladning er alltid bevart – hvilket gir

${\displaystyle \nabla \cdot \left(J_{i}+J_{e}\right)=0}$

som ved ligningene over kan skrives om til

${\displaystyle \nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v_{i}\right)+\nabla \cdot \left(M_{e}\nabla v_{e}\right)=0}$

Denne ligningen sier at all strøm som går ut fra ett domene (enten det ekstracellulære eller det intracellulære) må gå inn i det andre.^[2]

Man kan anta at transmembranpotensialet, definert som ${\displaystyle v=v_{i}-v_{e}}$, er relatert til spenningsforskjellen ved

${\displaystyle v={\frac {q_{i}-q_{e}}{2\chi C_{m}}}}$

der ${\displaystyle q_{i}}$ og ${\displaystyle q_{e}}$ angir intra- og ekstracellulær ladning, ${\displaystyle \chi }$ angir overflateareal per enhetsvolum og ${\displaystyle C_{m}}$ cellemembranens kapasitans. Videre tar vi den tidsderiverte av dette, og antar vi at strømmen inn og ut av hvert domene er bevart. Fra dette kan vi utlede at

${\displaystyle J_{t}=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right)}$

hvilket kombinert gir

${\displaystyle \nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v\right)+\nabla \cdot \left(M_{i}\nabla v_{e}\right)=\chi \left(C_{m}{\frac {\partial v}{\partial t}}+I_{\mathrm {ion} }\right).}$

som er den andre bidomene-ligningen.^[2]

Konduktansverdier

Konduktansverdiene i henholdsvis samme retning som fibrene, på tvers av disse og normalt på hvert lag er ulik; videre er disse igjen ulike i det intracellulære og ekstracellulære området. Dette kan modelleres ved hjelp av diagonale matriser (annengrads tensorer), der konduktivitetsverdiene lokalt er angitt ved

${\displaystyle M_{i}={\begin{bmatrix}\sigma _{fi}&0&0\\0&\sigma _{ti}&0\\0&0&\sigma _{ni}\end{bmatrix}}\qquad M_{e}={\begin{bmatrix}\sigma _{fe}&0&0\\0&\sigma _{te}&0\\0&0&\sigma _{ne}\end{bmatrix}}}$,

der ${\displaystyle \sigma _{ij}}$ angir konduktivitetverdi i henholdsvis retning ${\displaystyle \mathbf {e_{f}} ,\mathbf {e_{t}} ,\mathbf {e_{n}} }$ (i retning fibrene, på tvers, normalt) for ${\displaystyle j\in {i,e}}$ (intracellulært, ekstracellulært).^[2] Dette er lokale verdier som må omregnes til globale verdier ut fra vektorfeltet som definerer fibrenes geometri i et gitt punkt.

Disse verdiene er skalare estimerte verdier, og ikke gitt direkte i originalformuleringen av bidomene-modellen. Forskning på dette antyder at forholdet mellom verdiene er gitt ved 4:2:1, men ulike artikler oppgir ulike konduktansverdier.^[5]

Ved å anta at konduktansverdiene er proporsjonale i det intra- og ekstracellulære domenet, altså at ${\displaystyle M_{i}=\lambda M_{e}}$ for en skalarverdi ${\displaystyle \lambda }$, kan modellen reduseres til monodomene-modellen.^[2]

Randbetingelser

For å finne en løsning for ligningssettet over, må man angi randbetingelser.^[2] Dersom man antar at domenet er omgitt av et isolerende medium, kan man modellere dette som

${\displaystyle n\cdot J_{i}=0\qquad n\cdot J_{e}=0}$

der n er overflatens normalvektor, og ligningene angir at henholdsvis at den intracellulære og ekstracellulære strømmen er null på randen. Ved å bruke ligningene over kan dette skrives om til^[2]

${\displaystyle n\cdot (M_{i}\nabla v+M_{i}\nabla v_{e})=0\qquad n\cdot (M_{e}\nabla v_{e})=0}$

Referanser

Eksterne lenker

• Artikkel om bidomene-modellen på Scholarpedia